2/
Agar kita tidak lagi mengalami kekeliruan berpikir, atau bahkan sesat pikir (logical fallacy), maka saya akan mengklarifikasi beberapa hal dulu, sebagai berikut (Sumber: Axiomatic Systems for Geometry, George Francis.):
A. Pengertian dari Aksioma, Definisi, Postulat, Proposisi, Teorema, Lemma, Corollary, dan Konjektur
1. Aksioma adalah suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersifat umum, tanpa memerlukan pembuktian (proof atau demonstrata).
2. Definisi dibuat dengan hanya menggunakan konsep yang tak terdefinisi dan atau konsep yang telah didifinisikan sebelumnya. Contoh dalam geometri titik, garis, dan bidang merupakan konsep-konsep yang tidak terdifinisi.
Contoh definisi: dalam geometri kita mengenal namanya sinar, sinar adalah himpunan bagian dari garis yang memuat yang diketahui dan semua titik pada semua sisi (pihak)/titik yang diketahui tersebut. Titik yang diketahui adalah titik pangkal sinar.
3. Postulat adalah pernyataan matematika yang disepakati benar tanpa pembuktian.
Contoh: Dalam geometri, setiap garis paling sedikit berisi dua titik berbeda.
4. Proposisi: Proposisi adalah hubungan yang logis antara dua konsep. Contoh: dalam penilitian mengenai mobilitas penduduk, proposisinya berbunyi : “proses migrasi tenaga kerja ditentukan oleh upah”.
Dalam penelitian sosial dikenal ada dua jenis proposisi; yang pertama aksioma atau postulat, yang kedua teorema. Aksioma ialah proposisi yang kebenarannya sudah tidak lagi diragukan; sedang teorema ialah proposisi yang dideduksikan dari aksioma.
5. Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang masih memerlukan pembuktian dan pernyataan itu dapat ditunjukkan bernilai benar.
Contoh dalam geometri: jika dua buah bidang yanhg berbeda beririsan (berpotongan) maka irisannya berupa garis, hal ini ada dalam Teorema Pythagoras.
6. Lema (Lemma) adalah teorema sederhana yang dipergunakan sebagai hasil-antara dalam pembuktian teorema lain.
7. Korolari (Corollary) adalah suatu proposisi yang secara langsung diperoleh dari teorema yang sudah dibuktikan.
8. konjektur adalah suatu pernyataan yang nilai kebenarannya tidak diketahui. Setelah pembuktian berhasil dilakukan, maka konjektur berubah menjadi teorema.
B. Aksioma dan postulat, apa bedanya?
Bagi mereka yang kuliah di jurusan matematika, kadang kala mereka menemukan istilah “aksioma” di buku-buku teksnya. Salah satu aksioma yang paling dikenal adalah aksioma lapangan dalam mata kuliah bilangan real, yaitu:
Jika ada sebuah garis dan sebuah titik di luar garis, maka paling sedikit terdapat satu garis yang paralel terhadap garis tersebut yang melalui titik tersebut.
1. Postulat Kesejajaran
Jika kita mencari istilah postulat di wikipedia, maka secara otomatis wikipedia akan men-direct pencarian ke istilah Axiom. Di sini diterangkan bahwa:
“An axiom, or postulate, is a premise or starting point of reasoning.”
Perhatikan bahwa di sini wikipedia memberi gambaran bahwa aksioma dan postulat adalah istilah yang sama, yaitu sebagai premis atau poin awal dalam sebuah penalaran. Namun, dalam sebuah artikel berjudul “Axiomatic Systems For Geometry” karya George Francis. Ia pernah menceritakan bahwa Euclid membedakan antara aksioma dengan postulat. Euclid menyatakan bahwa aksioma adalah segala hal yang berhubungan dengan akal sehat dan logika, sedangkan postulat adalah segala asumsi yang berkaitan dengan geometri.
Berdasarkan tulisan-tulisan di atas, sebuah pertanyaan pun muncul: Apakah Aksioma dan postulat istilah yang sama atau berbeda ? Mari kita telusuri.
Berdasarkan ilmu logika, aksioma dan postulat adalah suatu pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang tidak bisa dibantah atau sudah dipastikan bernilai benar tanpa perlu pembuktian atau demonstrasi/peragaan. Jika dalam suatu buku teks matematika anda menemukan istilah aksioma atau postulat dan mencoba membuktikannya, maka Anda jelas melakukan pekerjaan yang sia-sia. Memang ada beberapa kasus ketika suatu aksioma atau postulat berubah menjadi teorema alias turun derajat seperti aksioma kelima Euclid. Aksioma dan Postulat sangat penting dalam matematika terutama jika ingin membuktikan suatu teorema berdasarkan langkah-langkah inferensi. Dalam hal ini aksioma dan postulat adalah dua hal yang sama.
Namun, pada masa Yunani Kuno, aksioma dan postulat adalah konsep yang berbeda. Dulu aksioma dianggap sebagai asumsi yang tidak terbantahkan, yang berkaitan dengan sebagian besar ilmu pengetahuan, sedangkan postulat hanya untuk ilmu-ilmu yang tertentu. Mari kita jelaskan keduanya dalam sudut pandang Yunani kuno:
1. Aksioma
Aristoteles menggunakan istilah aksioma yang berasal dari bahasa Yunani ‘axioma’ yang artinya ‘untuk dianggap layak’ atau ‘untuk diminta’, kadang kala diartikan sebagai ‘pendapat umum’. Dalam Matematika, aksioma dikategorikan menjadi ‘Logical Axiom’ dan ‘Non-Logical Axiom’. Yang dimaksud dengan logical axiom adalah proposisi atau pernyataan, sedangkan non-logical axiom adalah sifat-sifat yang terdefinisi dalam domain teori matematika yang spesifik atau pernyataan logika, dimana menggunakan langkah-langkah deduksi untuk membangun teori matematika. Pernyataan seperti “Sesuatu hal yang sama dengan hal yang lain, adalah sama satu sama lain.” merupakan contoh dari aksioma yang diungkapkan oleh Euclid.
2. Postulat
Postulat berasal dari bahasa Latin ‘postular’ yang artinya ‘untuk menuntut’. Tidak seperti aksioma, postulat bertujuan untuk menangkap hal-hal yang khas dari sebuah struktur. Pernyataan seperti ‘Adalah mungkin menggambar sebuah garis dari suatu titik ke titik lain’ adalah contoh dari postulat yang diungkapkan oleh Euclid.
Dari penjelasan di atas diketahui bahwa aksioma dan postulat dua hal yang berbeda. Yaitu:
1. Aksioma memiliki nilai benar di sebagian besar ilmu pengetahuan, sedangkan postulat hanya memiliki nilai benar di ilmu yang lebih spesifik.
2. Tidak mungkin aksioma digunakan untuk membuktikan aksioma lain, sedangkan postulat dapat dibuktikan dengan aksioma.
Dengan mengambil poin kedua, kita bisa mengambil kesimpulan bahwa derajat kebenaran aksioma lebih tinggi daripada postulat.
Bersambung ke halaman selanjutnya –>
