APENDIKS 1: KETERANGAN SIMBOL LOGIKA INTUISIONALISTIK:
ϕ (phi) dan ψ (psi) = proposisi atomik atau term di dalam proposisi.
∧ = konjugasi (operator logika untuk “dan”)
v = disjungsi (operator logika untuk “atau”)
¬ = negasi
⊢ = “terbukti (dalam satu sistem tertentu)” atau “maka” (operator logika implikasi)
⊥ = kontradiksi (argumen salah)
⊤ = tautologi (argumen benar)
APENDIKS 2: BUKTI PRINSIP LEDAKAN (ABSURDITAS) DAN LOGIKA PARAKONSISTENSI MENGGUNAKAN LOGIKA INTUISIONALISTIK
Berikut ini adalah bukti (proof) dari prinsip ledakan atau (ψ ∧ ¬ ψ) ⊢ ϕ:
Bila diketahui:
ϕ (phi), ψ (psi), ω (omega) = proposisi atomik
∧ = konjungsi (operator logika untuk “dan”)
¬ = negasi
∨ = disjungsi (operator logika untuk “atau”)
⊢ = “terbukti (dalam satu sistem tertentu)” atau “maka” (operator logika implikasi material)
⊥ = kontradiksi
⊤ = tautologi
Maka:
1. ψ ∧ ¬ ψ (asumsi)
2. ψ (dari 1 dengan menggunakan eliminasi konjungsi)
3. ¬ ψ (dari 1 dengan menggunakan eliminasi konjungsi)
4. ψ ∨ ϕ (dari 2 dengan menggunakan penambahan disjungsi)
5. ϕ (dari 3 dan 4 dengan menggunakan silogisme disjungtif)
6. ψ ∧ ¬ ψ ⊢ ϕ (dari 5 dengan menggunakan pembuktian implikasi material dari asumsi 1)
Namun, logika parakonsistensi bisa membuktikan bahwa kontradiksi tidak selalu menghasilkan prinsip ledakan. Secara khusus, bila hendak meninggalkan prinsip ledakan, maka kita harus meninggalkan setidaknya satu dari tiga prinsip logika simbolis berikut dalam pembuktian:
1. Penambahan disjungsi: ψ ⊢ ψ ∨ ϕ
2. Silogisme disjungsi: ψ ∨ ϕ, ¬ ψ ⊢ ϕ
3. Transitivitas dari infrensi: Jika ψ ⊢ ϕ dan ϕ ⊢ ω, maka ψ ⊢ ω
Bila kita telah meninggalkan satu dari tiga prinsip logika di atas, maka kontradiksi akan terbukti koheren secara parakonsistensi, artinya inferensi logika akan terbukti valid tanpa menjadi absurd. Berikut bukti kontradiksi adalah koheren atau merupakan bentuk modus tolens dalam inferensi logika: Jika ϕ ⊢ ψ ∧ ¬ ψ, maka ⊢ ¬ ϕ.
Namun, jika aturan “eliminasi negasi” (¬ ¬ ψ ⊢ ψ ) ditambahkan juga, maka setiap proposisi dari satu inferensi logis yang mengandung kontradiksi dapat dibuktikan dari prinsip ledakan atau ekuivalen dengan absurditas. Eliminasi negasi ini masih merupakan kelemahan bukti kontradiksi dari logika parakonsistensi (yang dianggap sebagai “kembaran” dari logika intuisionalistik), meski logika intuisionalistik tidak mengenal prinsip eliminasi negasi.
———————————–
Bersambung ke halaman selanjutnya –>
