Sampailah kita pada tiga pertanyaan mendasar dari Hilbert. Apakah Matematika bersifat Komplit (Complete) yang mengandung arti apakah ada cara bagi kita untuk mengatahui apakah suatu pernyataan yang benar itu dapat selalu dibuktikan? Kedua apakah matematikah itu Konsisten (Consistent) Atau dengan kata lain apakah matematika itu bisa bebas dari kontradiksi yang karenanya kita secara simultan dapat membuktikan a dan ~a yang dengannya kita secara bebas dapat membuktikan kebenaran dari beberapa pernyataan yang dianggap benar. Ketiga, apakah matematika memiliki sistem keputusan yg jelas (Decideable) yang artinya, adakah suatu sistem algoritma yang selalu dapat mengidentifikasikan semua pernyataan berlanjut dari sebuah aksioma?. Dalam sebuah Pidato yang berapi-api dalam sebuah konfrensi matematika di tahun 1930 Hilbert menyatakan In opposition to the foolish ignorabimus our slogan shall be Wir müssen wissen – wir werden wissen. Dari Semua penolakan orang-orang yang percaya bahwa kita tidak tau, slogan kita adalah kebalikannya, Kita Harus Tau!
Zermelo dan Matematikawan Lain Dari Mazhab Hilbertt memecahkan masalah dengan membatasi konsep himpunan. Menurutnya kumpulan semua himpunan adalah bukan satu himpunan dan juga bukan kumpulan semua himpunan yang tidak berisi diri mereka sendiri. Hal ini secara sementara menghilangkan paradoks yang muncul dalam Self- Refference yang dikemukakan oleh Hilbert.
Karena argumen ini tidak cukup kuat, pada akhirnya Hilbert dan matematikawan yang mendukung pandangannya mau tidak mau kembali mengadopsi konsep lama untuk mengamankan sistem baru matematika yang disebut dengan Aksioma (Axioms). Aksioma adalah pernyataan dasar yang dianggap harus benar. Misalnya pernyataan pada sebuah garis lurus yang dapat dipertahankan kebenarannya karena eksistensi dua titik yang menjadi dasar fundamental bagi adanya garis. Tapi tentu saja ini belum memuaskan.
D itahun 1930 Seorang anak muda berusia 24 tahun mengembangkan teorema ketidaklengkapan (Incompletness) di mana ia menunjukkan bahwa setiap sistem formal matematika mungkin saja konsisten namun kita tidak dapat membuktikan konsistensinya. Godel Matematikawan muda yang mengembangkan teorema ketidaklengkapan ini mengatakan bahwa yang dapat kita buktikan hanyalah bahwa sistem matematika bersifat konsisten namun tidaklah lengkap (incomplete).
Menurutnya matematika adalah sebuah sistem yang konsisten namun tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri sehingga beberapa kontradiksi dapat muncul begitu saja dan kapan saja. Jawaban ini tentu saja menyisakan pertanyaan terakhir Hilbert tentang adakah sebuah algoritma yang selalu dapat menentukan apakah sebuah pernyataan mengikuti aksioma. Dua jawaban ini membuat mimpi Hilbert untuk menemukan himpunan aksioma yang lengkap dan konsisten untuk semua aspek matematika adalah sangat mustahil.
Teorema Incompletness Godel menyiratkan bahwa tidak ada sistem aksioma yang dapat diinventarisir dengan prosedur yang efektif. Atau dengan kata lain tidak ada algoritma mampu membuktikan semua kebenaran tentang aritmatika bilangan asli. Akan selalu ada pernyataan tentang bilangan real yang nyata, tetapi tidak dapat dibuktikan di dalam sistem. Hal ini menandaskan bahwa sistem matematika tidak dapat membuktikan konsistensinya sekalipun matematika itu sendiri sangatlah konsisten.
Bersambung ke halaman selanjutnya –>
